Hádanka: Najděte dvě po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součet čtverců je 613

Matematické hádanky nám často pomáhají procvičit naše logické myšlení a schopnost řešit problémy. Dnešní hádanka zní: Najděte dvě po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součet čtverců je 613. Pojďme se společně podívat na to, jak tuto hádanku vyřešit krok za krokem.

Analýza problému

Abychom tuto hádanku vyřešili, potřebujeme nalézt dvě po sobě jdoucí celá čísla, která budeme označovat jako n a n+1. Podmínka, kterou musíme splnit, je, že součet čtverců těchto čísel je 613. Matematicky to můžeme vyjádřit rovnicí:

n^2 + (n+1)^2 = 613

Řešení krok za krokem

Začneme s rovnicí:
```
n^2 + (n+1)^2 = 613
```
Rozepíšeme druhou mocninu (n+1):
```
n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 613
```
Spojíme podobné členy:
```
n^2 + n^2 + 2n + 1 = 613
```
Zjednodušíme rovnici:
```
2n^2 + 2n + 1 = 613
```
Přesuneme 613 na levou stranu rovnice, abychom získali kvadratickou rovnici:
```
2n^2 + 2n + 1 - 613 = 0
2n^2 + 2n - 612 = 0
```
Zjednodušíme rovnici vydělením všech členů dvěma:
```
n^2 + n - 306 = 0
```

Řešení kvadratické rovnice

Nyní musíme vyřešit kvadratickou rovnici n^2 + n – 306 = 0. Můžeme použít kvadratický vzorec:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Kde a = 1, b = 1, a c = -306:

n = (-1 ± √(1 + 4 * 306)) / 2
n = (-1 ± √(1 + 1224)) / 2
n = (-1 ± √1225) / 2
n = (-1 ± 35) / 2

Máme dvě možná řešení pro n:

n = (34) / 2 = 17
n = (-36) / 2 = -18

Ověření řešení

Pro n = 17:

n^2 + (n+1)^2 = 17^2 + 18^2 = 289 + 324 = 613

Pro n = -18:

n^2 + (n+1)^2 = (-18)^2 + (-17)^2 = 324 + 289 = 613

Závěr

Dvě po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součet čtverců je 613, jsou 17 a 18 nebo -18 a -17. Tato hádanka nám ukazuje, jak můžeme použít algebraické techniky a kvadratické rovnice k řešení problémů. Procvičování takových hádanek nám pomáhá rozvíjet logické myšlení a matematické dovednosti, které můžeme aplikovat v každodenním životě.